ació en Buenos Aires, en el barrio porteño de Caballito. Estudió el bandoneón, desde los nueve años, con un maestro del barrio, José Zacarnino. A partir de 1945 lo hizo con el gran maestro Francisco Requena. Comenzó sus actuaciones en una orquesta juvenil dirigida por Ramón Damp. Más tarde y durante un año y medio, desde el 1 de enero de 1950, lo hizo en la orquesta de la rosarina Ebe Bedrune, conocida como La Mujer Tango.

Nos recuerda que había, en esos tiempos, hasta tres orquestas de tango tocando por día en los locales del centro. Giannini llegó a presentarse en el Ebro Bar de la calle Corrientes. Sus compañeros de orquesta en el violín, eran Elías Garnik y Luis Straser, además de José Carli.

En su extensa trayectoria en el tango el maestro Giannini trabajó en las orquestas de los maestros Domingo Federico, Lorenzo Barbero, cuya orquesta se llamaba La Orquesta de la Argentinidad en la que estuvo nueve años, desempeñándose como primer bandoneón durante cinco de esos años.

También estuvo en la Orquesta Símbolo «Osmar Maderna», que dirigía Aquiles Roggero, y con el maestro Miguel Caló durante un año donde intervino en varias grabaciones; luego en la orquesta de Francini-Pontier, cuando estaba el cantor Julio Sosa, y en la agrupación de José Colángelo.

Además de acompañar a un número muy grande de cantores e integrar por largos años la orquesta de Mariano Mores, donde cerró su carrera, como instrumentista del bandoneón, en el año 2011.

Se presentó además en el local La Ciudad, de la calle Talcahuano.

En los años 1990 a 1995, fue músico invitado en el Sexteto Mayor, en los espectáculos Tango Argentino y Tango Pasión. Visitó en muchas giras los Estados Unidos, Colombia, Panamá, Perú, Chile, Ecuador, Costa Rica.

Giannini grabó con Juan Sánchez Gorio y colaboró esporádicamente con Orlando Trípodi, en los años 1963, 1966 y l972 y con Osvaldo Berlingieri. La fila de bandoneones de la Orquesta de Trípodi en 1966 la componían: José Libertella, Carmelo Gentiluomo, Felipe Ricciardi, José Riciardi y Tomás Giannini.

En 1972, con Miguel Caló hasta su fallecimiento, eran los bandoneones: Tomás Giannini, Héctor Lettera, Oscar Basil «El Turco» y Santos Maggi, en el piano Orlando Trípodi; en contrabajo Juan Carlos Vallejos; en violines , Aquiles Aguilar, José Amitrain, Pedro Aguilar y Osvaldo Rodríguez.

En 1996 estuvo con el bailarín Julio Bocca en otra gira por 19 ciudades de España, Egipto, Italia, Inglaterra, haciendo dúo con Atilio Stampone en las entradas respectivas del final del espectáculo.